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📐 Merkblatt: Mathematik

eA · schriftlich · Cheat Sheet

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Analysis — Funktionsklassen

Funktionstypen

•Ganzrationale Funktionen (Polynome), gebrochen-rationale Funktionen, Wurzelfunktionen
•e-Funktionen: f(x) = c·e^(kx), Asymptoten, e = Eulersche Zahl
•ln-Funktion: Umkehrfunktion zu e^x
•Parametervariationen und Auswirkungen auf Graphen
•Achsensymmetrie: f(x) = f(−x); Punktsymmetrie: f(−x) = −f(x)
•Verhalten im Unendlichen, Asymptoten (waagerecht, senkrecht)

Analysis — Differentialrechnung

Ableitungsregeln

(u⋅v)′=u′v+uv′(uv)′=u′v−uv′v2(u(v(x)))′=u′(v(x))⋅v′(x)(u \cdot v)' = u'v + uv' \quad\quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \quad\quad (u(v(x)))' = u'(v(x)) \cdot v'(x)

Wichtige Ableitungen

(ex)′=ex(ln⁡x)′=1x(xn)′=n⋅xn−1(e^x)' = e^x \quad\quad (\ln x)' = \frac{1}{x} \quad\quad (x^n)' = n \cdot x^{n-1}

Kurvendiskussion

•Monotonie: Vorzeichenwechselkriterium von f′
•Extrema: Hoch-/Tiefpunkte (f′=0 + VZW), Randextrema, Sattelpunkte
•Tangente in P(a|f(a)): y = f′(a)·(x−a) + f(a)
•Normale: Steigung −1/f′(a)
•Steckbriefaufgaben: Koeffizienten aus Bedingungen bestimmen (LGS aufstellen)

Analysis — Integralrechnung

Hauptsatz (HDI)

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)mit F′=f\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \quad \text{mit } F' = f

Wichtige Stammfunktionen

∫xndx=xn+1n+1+C∫exdx=ex+C∫1xdx=ln⁡∣x∣+C\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad\quad \int e^x dx = e^x + C \quad\quad \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C

Anwendungen

•Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse (Nullstellen beachten, Beträge!)
•Flächeninhalte zwischen zwei Kurven: ∫(f−g)dx über Schnittstellen
•Bestandsberechnung aus Änderungsrate

Stochastik

Binomialverteilung

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kμ=npσ=np(1−p)P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \quad\quad \mu = np \quad\quad \sigma = \sqrt{np(1-p)}

Normalverteilung

•Glockenkurve, Standardnormalverteilung
•σ-Intervalle: [µ−σ; µ+σ] ≈ 68,3 %, [µ−2σ; µ+2σ] ≈ 95,4 %, [µ−3σ; µ+3σ] ≈ 99,7 %

Hypothesentest (ein-/zweiseitig)

•Nullhypothese H₀ und Alternativhypothese H₁
•Signifikanzniveau α (typisch 5 %)
•Ablehnungsbereich, kritischer Wert bestimmen
•Fehler 1. Art: H₀ abgelehnt, obwohl wahr → P ≤ α
•Fehler 2. Art: H₀ angenommen, obwohl falsch

Kombinatorik & bedingte Wahrscheinlichkeit

(nk)=n!k!(n−k)!P(A∣B)=P(A∩B)P(B)\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \quad\quad P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Werkzeuge

•Baumdiagramme (Pfadregeln)
•Vierfeldertafel

Analytische Geometrie

Skalarprodukt & Orthogonalität

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3a⃗⊥b⃗⇔a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \quad\quad \vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

Kreuzprodukt (eA) — Normalenvektor

a⃗×b⃗=(a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1)\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}

Geraden & Ebenen

•Gerade (Parameterform): g: x⃗ = p⃗ + t·u⃗
•Ebene: Parameterform, Koordinatenform (ax+by+cz=d), Normalenform
•Umformung zwischen Ebenenformen
•Spurpunkte von Geraden und Ebenen
•Lagebeziehungen: Punkt–Gerade/Ebene, Gerade–Gerade, Gerade–Ebene
•Schnittwinkel zwischen Geraden/Ebenen

Abstand Punkt–Ebene (Hessesche Normalform)

d=∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}