📐 Training: Mathematik
6 Aufgaben · Musterlösungen per Klick — im PDF-Export enthalten
Analysis — e-Funktion
Aufgabe
Gegeben sei f(x) = 2x·e^(−x) für x ∈ ℝ. a) Bestimmen Sie alle Extremstellen und deren Art (Hoch-/Tiefpunkt). b) Berechnen Sie die Gleichung der Tangente im Punkt P(0|f(0)). c) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [0;3] einschließt.
Musterlösung
a) f′(x) = 2e^(−x) − 2x·e^(−x) = 2e^(−x)(1−x). Nullstelle bei x=1, VZW von + nach − → Hochpunkt HP(1 | 2/e). b) f′(0) = 2, f(0) = 0 → Tangente T: y = 2x. c) ∫₀³ 2x·e^(−x) dx per partieller Integration: Stammfunktion F(x) = −2(x+1)e^(−x). F(3)−F(0) = −8e^(−3) + 2 ≈ 1,60 FE.
Stochastik — Hypothesentest Münze
Aufgabe
Eine Münze soll auf Fairness getestet werden. Bei 100 Würfen erscheint 60-mal Kopf. Testen Sie zum Signifikanzniveau 5 % (einseitig rechts), ob die Münze zu Kopf-Ergebnissen neigt (H₀: p = 0,5).
Musterlösung
H₀: p = 0,5; H₁: p > 0,5. Testgröße X ~ B(100; 0,5). Ablehnungsbereich: {x | P(X ≥ x) ≤ 0,05}. Kritischer Wert c = 59 (aus Tabelle/GTR). Da 60 ≥ 59: H₀ ablehnen. Die Münze zeigt auf dem 5-%-Niveau eine signifikante Tendenz zu Kopf. Fehler 1. Art: H₀ fälschlich abgelehnt, P ≤ 5 %.
Analytische Geometrie — Ebene und Abstand
Aufgabe
Gegeben: E: 2x − y + 3z = 6, Punkt P(1|2|1). a) Bestimmen Sie den Abstand von P zur Ebene E. b) Bestimmen Sie den Fußpunkt des Lotes von P auf E. c) Liegt Q(3|0|1) in der Ebene E?
Musterlösung
a) d = |2·1 − 2 + 3·1 − 6| / √(4+1+9) = |−3| / √14 = 3/√14 ≈ 0,80. b) Lotgerade g: x⃗ = (1|2|1) + t·(2|−1|3). Einsetzen in E: 2(1+2t) − (2−t) + 3(1+3t) = 6 → 14t + 3 = 6 → t = 3/14. Fußpunkt F(1+6/14 | 2−3/14 | 1+9/14) = F(10/7 | 25/14 | 23/14). c) 2·3 − 0 + 3·1 = 9 ≠ 6 → Q liegt NICHT in E.
Analysis — Steckbriefaufgabe
Aufgabe
Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat im Ursprung einen Wendepunkt mit Tangentensteigung −3 und bei x = 1 eine Extremstelle. Bestimmen Sie den Funktionsterm.
Musterlösung
Ansatz: f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Bedingungen: f(0)=0 → d=0; f″(0)=0 → b=0; f′(0)=−3 → c=−3; f′(1)=0 → 3a + c = 0 → a=1. Ergebnis: f(x) = x³ − 3x.
Stochastik — Binomialverteilung
Aufgabe
Ein Multiple-Choice-Test hat 20 Fragen mit je 4 Antwortmöglichkeiten (genau eine richtig). Ein Schüler rät alle Antworten. a) Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung der richtigen Antworten. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für genau 5 richtige Antworten.
Musterlösung
X ~ B(20; 0,25). a) µ = np = 20·0,25 = 5; σ = √(np(1−p)) = √(20·0,25·0,75) = √3,75 ≈ 1,94. b) P(X=5) = C(20;5)·0,25⁵·0,75¹⁵ ≈ 0,2023 ≈ 20,2 %.
Geometrie — Lagebeziehung Gerade/Ebene
Aufgabe
Gegeben: Gerade g: x⃗ = (1|0|2) + t·(2|1|−1) und Ebene E: x + 2y + 4z = 9. Untersuchen Sie die Lagebeziehung von g und E und bestimmen Sie ggf. den Schnittpunkt.
Musterlösung
Richtungsvektor·Normalenvektor: (2|1|−1)·(1|2|4) = 2+2−4 = 0 → g parallel zu E oder in E. Punktprobe mit (1|0|2): 1 + 0 + 8 = 9 ✓ → Aufpunkt liegt in E. Ergebnis: g liegt vollständig in der Ebene E.